Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

IPOTESI 7 -  Evento E7="Una freccia, la seconda ad andare a segno, colpisce il bersaglio."

Tre frecce vengono lanciate? Come?
CASO 7b - Una subito dopo l'altra a tiro concluso. Previa  equa conta per stabilire l'ordine di tiro.
 
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?
 

 Soluzione n.2
In questo caso gli arcieri tireranno secondo una permutazione casuale equiprobabile.
Analizziamo quindi i sei casi possibili:

 

1.Permutazione ABC
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA   A è il secondo a colpire 0% P(TA)=0%  
TB AB B è il secondo a colpire  60%*50% P(TB)=30% S6 u S7
TC A'BC+AB'C C è il secondo a colpire 40%*50%*80%+
60%*50%*80		 P(TC)=40% S3 u S5
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Dopo l'evento annunciato nel terzo periodo, che esclude che meno di due colpiscano il bersaglio, vanno aggiornati bayesianamente i valori probabilistici.  Tenendo conto che  sia TA che TB che TC implicano E7 e quindi: P(E7/TA)=1   P(E7/TB)=1   P(E7/TC)=1. Tenendo conto che E7 equivale logicamente a non T0 ossia "almeno due frecce colpiscono il bersaglio" si ha P(E7)=1-P(T0)=70%

 si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E7)=0/70%=0
P(TB/E7)=P(TB)/P(E7)=30%/70%=3/7
P(TC/E7)=P(TC)/P(E7)=40%/70%=4/7

2.Permutazione ACB
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA   A è il secondo a colpire 0% P(TA)=0%  
TB A'CB+AC'B B è il secondo a colpire  40%*80%*50%+
60%*20%*50%		 P(TB)=22% S3 u S6
TC AC C è il secondo a colpire 60%*80% P(TC)=48% S5 u S7
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Analogamente  si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E7)=0/70%=0
P(TB/E7)=P(TB)/P(E7)=22%/70%=11/35
P(TC/E7)=P(TC)/P(E7)=48%/70%=24/35

 

3.Permutazione BAC
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA BA A è il secondo a colpire 60%*50% P(TA)=30% S6 u S7
TB   B è il secondo a colpire  0 P(TB)=0%  
TC BA'C+B'AC C è il secondo a colpire 40%*50%*80%+
60%*50%*80%		 P(TC)=40% S3 u S5
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Analogamente  si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E7)=30%/70%=3/7
P(TB/E7)=P(TB)/P(E7)=0/70%=0
P(TC/E7)=P(TC)/P(E7)=40%/70%=4/7

4.Permutazione BCA
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA BC'A+B'CA A è il secondo a colpire 50%*20%*60%+
50%*80%*60%		 P(TA)=30% S5 u S6
TB   B è il secondo a colpire  0 P(TB)=0  
TC BC C è il secondo a colpire 50%*80% P(TC)=40% S3 u S7
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Analogamente  si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E7)=30%/70%=3/7
P(TB/E7)=P(TB)/P(E7)=0/70%=0
P(TC/E7)=P(TC)/P(E7)=40%/70%=4/7

5.Permutazione CAB
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA CA A è il secondo a colpire 80%*60% P(TA)=48% S5 u S7
TB CA'B+C'AB B è il secondo a colpire  80%*40%*50%+
20%*60%*50%		 P(TB)=22% S3 u S6
TC   C è il secondo a colpire 0 P(TC)=0%  
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Analogamente  si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E7)=48%/70%=24/35
P(TB/E7)=P(TB)/P(E7)=22%/70%=11/35
P(TC/E7)=P(TC)/P(E7)=0%/70%=0

6.Permutazione CBA
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA CB'A+C'BA A è il secondo a colpire 80%*50%*60%+
20*50%*60%		 P(TA)=30% S5 u S6
TB CB B è il secondo a colpire  80%*50% P(TB)=40% S3 u S7
TC   C è il secondo a colpire 0 P(TC)=0%  
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Analogamente  si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E7)=48%/70%=30/35
P(TB/E7)=P(TB)/P(E7)=22%/70%=40/35
P(TC/E7)=P(TC)/P(E7)=0%/70%=0

Riassumendo:

Permutazione P(TA/E7) P(TB/E7) P(TC/E7)
ABC 0 30/70 40/70
ACB 0 22/70 48/70
BAC 30/70 0 40/70
BCA 30/70 0 40/70
CAB 48/70 22/70 0
CBA 30/70 40/70 0
media aritmetica 23/70 19/70 28/70

Dunque per una permutazione equiprobabile si ha:
P(TA/E7)=1/6*0+1/6*0+1/6*30/70*1/6*30/70+1/6*48/70+1/6*30/70=23/70
 

Risposta
La probabilità che la freccia sia di A è 23/70
 La probabilità che la freccia sia di B è 19/70
 La probabilità che la freccia sia di C è 28/70
 

Soluzione n.1
 
 

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