Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

Ipotesi 2- Una delle tre frecce colpisce il bersaglio. (Nessuna informazione sull'esito degli altri due lanci)  
evento E2="Una freccia, lanciata o da A o da B o da C, colpisce il bersaglio"
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?

Soluzione n.2

Sappiamo che la frequenza teorica ossia la probabilità del bersaglio di essere colpito è 60% quando il tira A, 50% quando tira B, 80% quando tira C.
Ossia P(A)=60% P(B)=50% P(C)=80%
Consideriamo l'evento 
X="Il bersaglio viene colpito da un arciere X, forse A, forse B, forse C"
E' evidente che X implica E2 e viceversa E2 implica X e che, quindi,
i due eventi sono logicamente equivalenti  
Si trova facilmente che P(E2)=P(X)=(P(A)+P(B)+P(C))/3=19/30
(La media aritmetica delle probabilità di andare a segno dei singoli che tirano con frequenza 1/3)

consideriamo poi i tre eventi incompatibili su cui ripartire il 100% di probabilità:
XA="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere A"
XB="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere B"
XC="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere C"
Le quote di probabilità si trovano facilmente in ragione dei contributi
probabilistici relativi ai singoli arcieri:

P(XA)=P(A)/(P(A)+P(B)+P(C))=60%/(60%+50%+80%)=6/19
P(XB)=P(B)/(P(A)+P(B)+P(C))=50/(60+50+80)=5/19
P(XC)=P(C)/(P(A)+P(B)+P(C))=80/(60+50+80)=8/19

P(XA), in particolare risponde alla domanda posta dal problema.
Poiche XA implica E2 non è necessario alcun aggiornamento bayesiano.

Risposta

Dunque se una freccia tirata, forse da A,forse da B, forse da C, colpisce il bersaglio  la probabilità che sia di A è 6/19.
La probabilità che sia di B è 5/19 e quella che sia di C è 8/19
 

 Soluzione n.1

Diagramma  ad albero di Ivana Niccolai