Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

IPOTESI 7 -  Evento E7="Una freccia, la seconda ad andare a segno, colpisce il bersaglio."

Tre frecce vengono lanciate? Come?
CASO 7a - Contemporaneamente
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?

soluzione
In questo caso è possibile fare utili deduzioni dai dati del problema. Poiché la stima probabilistica viene fatta solo in base alla distanza, si può dedurre che CAB siano gli arcieri ordinati per distanza andando dal più vicino C che ha maggiori probabilità di successo fino al più lontano B. Poiché null'altro influisce sulle stime si può ragionevolmente supporre che le caratteristiche tecniche degli arcieri si equivalgano e in particolare che la velocità con la quale scagliano, ognuno, la propria freccia sia la stessa. . Da tutto ciò si può quindi dedurre che CAB sia anche l'ordine con cui le tre frecce lanciate arrivano in prossimità del bersaglio.
 
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA CA A è il secondo a colpire 80%*60% P(TA)=48% S5 u S7
TB CA'B+C'AB B è il secondo a colpire  80%*40%*50%+
20%*60%*50%		 P(TB)=22% S3 u S6
TC   C è il secondo a colpire 0 P(TC)=0%  
T0 A'B'C'+AB'C'+
A'BC'+A'B'C		 al massimo una freccia colpisce   P(T0)=30% S0 u S4 u S2 u S1
 

Dopo l'evento annunciato nel terzo periodo, che esclude che meno di due colpiscano il bersaglio, vanno aggiornati bayesianamente i valori probabilistici.  Tenendo conto che  sia TA che TB che TC implicano E7 e quindi: P(E7/TA)=1   P(E7/TB)=1   P(E7/TC)=1. Tenendo conto che E7 equivale logicamente a non T0 ossia "almeno due frecce colpiscono il bersaglio" per cui P(E7)=1-P(T0)=70%

 si ottiene:

P(TA/E7)=P(TA)/P(E1)=48%/70%=24/35
P(TB/E7)=P(TB)/P(E1)=22%/70%=11/35
P(TC/E7)=P(TC)/P(E1)=0%/70%=0

Risposta
La probabilità che la freccia sia di A è 24/35
 La probabilità che sia di B è 11/35.
La probabilità che sia di C è 0.
 

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