Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

Ipotesi 4 - Quella che sarà equamente sorteggiata tra quelle a segno.  Se rimarrà sola il sorteggio non sarà necessario.
evento E4- Una freccia, equamente sorteggiata in caso di più frecce a segno,  colpisce il bersaglio.
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?

Soluzione
Definisco gli eventi incompatibili:
EU="Solo una su tre colpisce il bersaglio"
ED="Solo due su tre colpiscono il bersaglio"
ET="Tutte e tre le frecce colpiscono il bersaglio"
L'unione di questi tre eventi è logicamente equivalente ad E4 dunque:
E4=EU u ED u ET  dove "u" sta per unione
sappiamo dalle  storie alternative che
P(EU)=P(S4)+P(S2)+P(S1)=26%
P(ED)=P(S3)+P(S5)+P(S6)=46%
P(ET)=P(S7)=24%
P(E4)=26%+46%+24%=96% 
Consideriamo:
EA="La freccia sorteggiata è di A"
EB="La freccia sorteggiata è di B"
EC="La freccia sorteggiata è di C"
P(EA)=P(S4)+1/2*(P(S5)+P(S6))+1/3*S7=6%+15%+8%=29%
 P(EB)=P(S2)+1/2*(P(S3)+P(S6))+1/3*S7=4%+11%+8%=23%
P(EC)=P(S1)+1/2*(P(S3)+P(S5))+1/3*S7=16%+20%+8%=44%

Tenendo conto che dato che sia EA che EB che EC implicano E4
e quindi che P(E4/EA)=P(E4/EB)=P(E4/EC)=1
si aggiornano bayesianamente i valori trovati data la supposizione di E4
P(EA/E4)=P(EA)/P(E4)=29%/96%=29/96
P(EB/E4)=P(EB)/P(E4)=23%/96%=23/96
P(EC/E4)=P(EC)/P(E4)=44%/96%=11/24

Risposta
La probabilità che quella freccia che ha colpito il bersaglio sia quella di A é 29/96
Che sia di B è 23/96. Che sia di C è 11/24