Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

Ipotesi 12- Una delle tre, lanciata forse da A forse da B ma sicuramente non da C, mentre le altre due non si sa se andranno, o no, anche loro a segno. 
evento E12="Una freccia, lanciata o da A o da B, colpisce il bersaglio"
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?

Soluzione n.2

Sappiamo che la frequenza teorica ossia la probabilità del bersaglio di essere colpito è 60% quando tira A, 50% quando tira B e che quindi P(A)=60% P(B)=50%
Consideriamo l'evento 
X="Il bersaglio viene colpito da un arciere X, forse A, forse B"
E' evidente che X implica E12 e viceversa E12 implica X e che, quindi,
i due eventi sono logicamente equivalenti  
Si trova facilmente che P(E12)=P(X)=(P(A)+P(B))/2=55%=11/20
(La media aritmetica delle probabilità di andare a segno)

consideriamo poi i due su tre eventi incompatibili su cui ripartire il 100% di probabilità:
XA="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere A"
XB="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere B"

Le quote di probabilità si trovano facilmente in ragione dei contributi
probabilistici relativi ai singoli arcieri:

P(XA)=P(A)/(P(A)+P(B))=60%/(60%+50%)=6/11
P(XB)=P(B)/(P(A)+P(B))=50%/(60%+50%)=50/(60+50)=5/11

P(XA), in particolare risponde alla domanda posta dal problema.
Poiche XA implica E12 non è necessario alcun aggiornamento bayesiano.

Risposta

Dunque se una freccia tirata, forse da A, forse da B colpisce il bersaglio  la probabilità che sia di A è 6/11.
La probabilità che sia di B è 5/11 e quella che sia di C è 0
 

 Soluzione n.1