Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

IPOTESI 1 : evento E1="Una freccia colpisce per prima il bersaglio.

Tre frecce vengono lanciate? Come?

CASO 1b - Uno dopo che l'altro ha concluso. Dopo equa conta, quindi secondo una permutazione casuale con 1/3 di probabilità per ognuno di tirare per primo.
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?

Soluzione n°2
In questo caso gli arcieri tireranno secondo una permutazione casuale equiprobabile.
Analizziamo quindi i sei casi possibili:

 

1.Permutazione ABC
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA A A è il primo a colpire 60% P(TA)=60% S4 u S5 u S6 u S7
TB A'B B è il primo a colpire  40%*50% P(TB)=20% S2 u S3
TC A'B'C C è il primo a colpire 40%*50%*80% P(TC)=16% S1
T0 A'B'C' al massimo una freccia colpisce 40%*50%*20% P(T0)=4% S0
 

Dopo l'evento annunciato nel terzo periodo, che esclude che nessuno colpisca il bersaglio, vanno aggiornati bayesianamente i valori probabilistici.  Tenendo conto che  sia TA che TB che TC implicano E1 e quindi: P(E1/TA)=1   P(E1/TB)=1   P(E1/TC)=1. Tenendo conto che E1 equivale logicamente a non T0 ossia "almeno una freccia colpisce il bersaglio" si ha P(E1)=1-P(T0)=96%

 si ottiene:

P(TA/E1)=P(TA)/P(E1)=60%/96%=15/24
P(TB/E1)=P(TB)/P(E1)=20%/96%=5/24
P(TC/E1)=P(TC)/P(E1)=16%/96%=1/6

2.Permutazione ACB
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA A A è il primo a colpire 60% P(TA)=60% S4 u S5 u S6 u S7
TB A'C'B B è il primo a colpire  40%*20%*50% P(TB)=4% S2
TC A'C C è il primo a colpire 40%*80% P(TC)=32% S1 u S3
T0 A'B'C' almeno una freccia a segno 40%*50%*20% P(T0)=4% S0
 

analogamente si ottiene:

P(TA/E1)=P(TA)/P(E1)=60%/96%=15/24
P(TB/E1)=P(TB)/P(E1)=4%/96%=1/24
P(TC/E1)=P(TC)/P(E1)=32%/96%=1/3

 

3.Permutazione BAC
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA B'A A è il primo a colpire 50%*60% P(TA)=30% S4 u S5
TB B B è il primo a colpire  50% P(TB)=50% S2 u S3 u S6 u S7
TC B'A'C C è il primo a colpire 50%*40%*80% P(TC)=16% S1
T0 A'B'C' al massimo una freccia colpisce 40%*50%*20% P(T0)=4% S0
 

analogamente si ottiene:

P(TA/E1)=P(TA)/P(E1)=30%/96%=15/48
P(TB/E1)=P(TB)/P(E1)=50%/96%=25/48
P(TC/E1)=P(TC)/P(E1)=16%/96%=1/6

4.Permutazione BCA
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA B'C'A A è il primo a colpire 50%*20%*60% P(TA)=6% S4
TB B B è il primo a colpire  50% P(TB)=50% S2 u S3 u S6 u S7
TC B'C C è il primo a colpire 50%*80% P(TC)=40% S5 u S1
T0 A'B'C' al massimo una freccia colpisce 40%*50%*20% P(T0)=4% S0
 

analogamente si ottiene:

P(TA/E1)=P(TA)/P(E1)=6%/96%=3/48
P(TB/E1)=P(TB)/P(E1)=50%/96%=25/48
P(TC/E1)=P(TC)/P(E1)=40%/96%=5/12

5.Permutazione CAB
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA C'A A è il primo a colpire 20%*60% P(TA)=12% S4 u S6
TB C'A'B B è il primo a colpire  20%*40%*50%+ P(TB)=4% S2
TC C C è il primo a colpire 80 P(TC)=80% S1 u S3 u S5 u S7
T0 A'B'C' al massimo una freccia colpisce 40%*50%*20% P(T0)=30% S0
 

analogamente si ottiene:

P(TA/E1)=P(TA)/P(E1)=12%/96%=3/24
P(TB/E1)=P(TB)/P(E1)=4%/96%=1/24
P(TC/E1)=P(TC)/P(E1)=80%/96%=5/6

6.Permutazione CBA
Consideriamo quattro eventi alternativi calcolandone le probabilità
evento componenti definizione calcolo probabilità storie alternative u=unione
TA C'B'A A è il primo a colpire 20%*50%*60% P(TA)=6% S4
TB C'B B è il primo colpire  20%*50% P(TB)=10% S2 u S6
TC C C è il primo a colpire 80% P(TC)=80% S1 u S3 u S5 u S7
T0 A'B'C' al massimo una freccia colpisce 40%*50%*20% P(T0)=30% S0
 

analogamente si ottiene:

P(TA/E1)=P(TA)/P(E1)=6%/96%=3/48
P(TB/E1)=P(TB)/P(E1)=10%/96%=5/48
P(TC/E1)=P(TC)/P(E1)=80%/96%=5/6

Riassumendo:

Permutazione P(TA/E7) P(TB/E7) P(TC/E7)
ABC 60/96 20/96 16/96
ACB 60/96 4/96 32/96
BAC 30/96 50/96 16/96
BCA 6/96 50/96 40/96
CAB 12/96 4/96 80/96
CBA 6/96 10/96 80/96
media aritmetica: 29/96 23/96 44/96

Dunque per una permutazione equiprobabile si ha:
P(TA/E1)=1/6*60/96+1/6*60/96+1/6*30/96*1/6*6/96+1/6*12/96+1/6*6/96=29/70
 

Risposta
La probabilità che la freccia sia di A è 29/96
 La probabilità che la freccia sia di B è 23/96
 La probabilità che la freccia sia di C è 11/24
 
 

Soluzione n°1
 

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