Teorema 1A Dimostra
che i coefficienti dei polinomi che, al variare del numero di addendi, danno
somme di interi consecutivi sono dati dalla matrice inversa di una matrice
triangolare (detta sfregiata a segni alterni) ricavabile dal triangolo di
Tartaglia
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Ipotesi
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Definizione 1a Indicherò con ![](&{DSMP.gEmptySrc};) una matrice quadrata, che chiamerò sfregiata a segni alterni, di
dimensioni nxn con elementi ![](&{DSMP.gEmptySrc};) così definiti:
![](&{DSMP.gEmptySrc};) per
k>i ; ![](&{DSMP.gEmptySrc};) altrimenti
(i=1,2…n;k=1,2…n)
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Esempi
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Definizione 2a. Indico con ![](&{DSMP.gEmptySrc};) un vettore (dimensioni nx1) di potenze con
elementi ![](&{DSMP.gEmptySrc};) (i=1,2…n)
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Esempi
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Definizione 3a. Pongo ![](&{DSMP.gEmptySrc};) Il risultato è un vettore di somme di potenze (dimensione nx1) con elementi ![](&{DSMP.gEmptySrc};) (i=1,2…n)
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Esempi
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Definizione 4a. Indico con ![](&{DSMP.gEmptySrc};) Il risultato è un vettore di potenze (dimensione nx1) con elementi ![](&{DSMP.gEmptySrc};) (i=1,2…n)
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Esempi
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Tesi
: ![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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Esempi
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Dimostrazione:
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![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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Per la definizione 3a
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![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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Per la proprietà distributiva
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![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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dove
![](&{DSMP.gEmptySrc};) è il vettore risultante dal prodotto righe
per colonne con elementi dati da
![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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Infatti
risulta
![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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per la transitività dell’uguaglianza
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![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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essendo
![](&{DSMP.gEmptySrc};) una matrice triangolare con determinante ![](&{DSMP.gEmptySrc};) sempre diverso da zero, moltiplicando a
sinistra
i due membri della precedente uguaglianza per ![](&{DSMP.gEmptySrc};) si ottiene la tesi.
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Corollario1A
Al variare di p gli n polinomi che si
ottengono dal prodotto , righe per colonne, ![](&{DSMP.gEmptySrc};) calcolano le somme di p potenze intere
consecutive il cui risultato è nel vettore ![](&{DSMP.gEmptySrc};) .
![](&{DSMP.gEmptySrc};)
Per
esempio per n=5
![](teorema_1A_file/image002.gif) ![](teorema_1A_file/image002.gif)
essendo ![](&{DSMP.gEmptySrc};)
si
ha
![](&{DSMP.gEmptySrc};)
facendo
il prodotto riga per colonna si può mettere in una equivalente forma
polinomiale:
![](&{DSMP.gEmptySrc};)
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Corollario 2A
Generazione dei numeri Di Bernoulli mediante matrici quasi
triangolari., sfregiate a segni alterni,
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Si
osservi che la prima colonna della matrice ![](&{DSMP.gEmptySrc};) corrisponde ai coefficienti di primo grado
dei polinomi per il calcolo della somma di potenze consecutive che
coincidono, salvo che per il segno del secondo termine, con i numeri di
Bernoulli:
![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) …..
Ricordando
che il calcolo della matrice inversa che permette di determinare l’ultimo
elemento della prima colonna mediante il complemento algebrico dell’ultimo
elemento della prima riga diviso per il determinante, per n>1 si ottiene:
![](&{DSMP.gEmptySrc};) Dove ![](&{DSMP.gEmptySrc};) indica il minore di ordine n-1 che si
ottiene da ![](&{DSMP.gEmptySrc};) sopprimendo la prima riga e l’ultima
colonna.
Essendo
i numeri di Bernoulli con indice dispari sempre nulli salvo il primo, risulta
per n>1
![](&{DSMP.gEmptySrc};)
In
particolare iniziando da n=2:
![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};)
![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](&{DSMP.gEmptySrc};) ![](teorema_1A_file/image002.gif)
![](&{DSMP.gEmptySrc};) etc. etc.
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